CF587D Duff in Mafia

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题目链接：CF587D

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，每条边有一个颜色 $c$ 和权值 $t$。

你要选出一些边，使得它们是一个匹配，同时剩下的边每种颜色也是一个匹配。

同时，你要最小化选出的边的最大权值。

$n,m \le 5 \times 10^4$。

Tutorial

考虑二分一个最大权值 $x$，2-SAT 判断合法性，对于边 $i$ 建两点 $x_i,x_i’$，表示选/不选。显然连边有 $3$ 种情况：

  • 对于权值 $t_i > x$ 的边 $i$ 有 $x_i \rightarrow x_i’$，表示该边不能选。
  • 对于每个点 $k$，其相连的边有 $x_1,x_2,\cdots,x_o$，则所有 $x_i\rightarrow x_j’(i\not = j)$，表示选了一条边则与其相连的边都不能再选。
  • 对于每个点 $k$，其相连的且颜色相同的边有 $x_1,x_2,\cdots,x_o$，则所有 $x_i’\rightarrow x_j(i\not = j)$，表示选出一条边则其他与其相连的同颜色的边都必选并成为一个匹配。

发现后面两类边的总边数是 $O(M^2)$ 的，但每次都是由一个点向其他除了该点的一类点连边，可以使用前缀和优化。

具体地，记 $s_i$ 表示前缀 $1,2,\cdots,i$ 点的代表点，记 $t_i$ 表示后缀 $i,i+1,\cdots,o$ 点的代表点，每次只需要向前后缀连边即可。

Solution

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#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
using namespace std;
namespace Debug{
	Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
	#define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
	Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
	Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
	Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
	Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=5e4+10,M=N*10;
int n,m,cnt,dfn[M],stk[M],low[M],col[M],cc,top,nc;
struct edge{int u,v,c,t;}a[N];
#define vi vector<int>
#define pb push_back
vi v[N],A,e[M];
I void LK(CI o){
	RI F=-1,T;for(auto i:A){
		RI f=++cnt,t=++cnt;e[o?i:i+m].pb(f),e[t].pb(o?i+m:i);
		~F&&(e[F].pb(f),e[t].pb(T),e[F].pb(o?i+m:i),e[o?i:i+m].pb(T),0);F=f,T=t;
	}
}
I void Tarjan(CI x){
	stk[++top]=x,dfn[x]=low[x]=++nc;for(auto i:e[x]) if(!dfn[i]) Tarjan(i),low[x]=min(low[x],low[i]);else if(!col[i]) low[x]=min(low[x],dfn[i]);
	if(dfn[x]==low[x]){col[x]=++cc;W(stk[top]^x) col[stk[top--]]=cc;top--;}
}
I void Cl(CI x){RI i;for(i=1;i<=m;i++) a[i].t>x&&(assert(e[i].back()==i+m),e[i].pop_back(),0);}
I bool chk(CI x){
	RI i;for(i=1;i<=m;i++) a[i].t>x&&(e[i].pb(i+m),0);
	for(top=nc=cc=0,i=1;i<=cnt;i++) dfn[i]=col[i]=0;
	for(i=1;i<=cnt;i++) !dfn[i]&&(Tarjan(i),0);
	for(i=1;i<=m;i++) if(col[i]==col[i+m]) return Cl(x),0;
	return Cl(x),1;
}
int main(){
	RI i,l=0,r=0,mid;for(read(n,m),cnt=m<<1,i=1;i<=m;i++) read(a[i].u,a[i].v,a[i].c,a[i].t),r=max(r,a[i].t),v[a[i].u].pb(i),v[a[i].v].pb(i);for(i=1;i<=n;i++){
		sort(v[i].begin(),v[i].end(),[&](CI x,CI y){return a[x].c<a[y].c;}),A.clear(),A=v[i],LK(1);
		for(RI tl=0,tr=0;tl<v[i].size();LK(0),tl=++tr){A.clear(),A.pb(v[i][tl]);W(tr+1<v[i].size()&&a[v[i][tr+1]].c==a[v[i][tr]].c) A.pb(v[i][++tr]);}
	}if(!chk(r)) return puts("No"),0;
	puts("Yes");W(l<r) chk(mid=l+r>>1)?r=mid:l=mid+1;
	for(write(l),pc(' '),chk(l),A.clear(),i=1;i<=m;i++) col[i]<col[i+m]&&(A.pb(i),0);
	writeln(A.size());for(auto i:A) write(i),pc(' ');return 0;
}