P6274 eJOI 2017 Problem B Six
Elly 正在研究关于 正整数 $N$ 的一些性质，发现 $N$ 有不多于 $6$ 个不同的质因数。
接下来，她以一种特定的方式来生成的一个列表，一开始列表为空。她先写下了 $N$ 的一个大于一的因数 $x$ ，加入列表前，她先要确保 在所有已经在列表中的数中， 不能有 超过 $1$ 个 数与 $x$ 不互质。
举个例子，当 $N=12156144$ 时：
合法的列表有： $ (42), (616, 6, 91, 23),(91, 616, 6, 23), (66, 7), (66, 7, 7, 23, 299, 66), \(143, 13, 66),(42,12156144),\text{etc.} $
而不合法的有：之一是 $(5,11)$，原因是 $5$ 不是 $N$ 的因子；还有一个是 $ (66, 13, 143)$ ，原因是 $143$ 与其他两个数都不互质。
现在 Elly 希望你计算出给定的 $N$，可以生成几个不同的合法的列表。答案对 $10^9+7$ 取模。
若两个列表长度不同，或存在一个位置使得两个列表的该位置的值不同，那么我们说这两个列表不同的。
对于所有数据，保证 $1\le N\le 10^{15}$，$N$ 至多有 $6$ 个质因数。
Tutorial
考虑如何转换 不能有超过 $1$ 个数与 $x$ 不互质 的限制。
注意到 $N$ 至多只有 $6$ 个质因数，因此如果对所有数质因数分解，将会只有至多 $6$ 个状态（有/无该因子），将其压起来设为状态 $S$，判断是否互质即等价于判断其 $S$ 的按位与是否非 $0$。
考虑使用一个三进制来表示状态，可以先预处理出所有状态对应的方案数 $O(2^MM)$。
每个状态包含 $i$ 类数的数量以及与其不互质的数的个数。转移的话直接枚举 $j$ 类数即可转移。
看上去状态数很多，实际上很少，因此可过（（
Solution
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| #include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int M=7,X=1e9+7,N=1e7+10;
LL n,p[M];
int f[1<<M],c[M],cnt,g[N],Ans;
map<__int128,int> mp;
I int DFS(__int128 x){
if(mp.count(x)) return mp[x];
RI i,j,k,S=1,o;for(i=1;i<(1<<cnt);i++) if((k=(x>>(i<<1))&3)<2){
__int128 t=x;for(j=0;j<(1<<cnt);j++) i&j&&(x>>(j<<1)&3)<2&&(x+=((__int128)1<<(j<<1)),0);
if(!f[i]) for(f[i]=1,j=1;j<=cnt;j++) i>>j-1&1&&(f[i]=1LL*f[i]*c[j]%X);
S=(1LL*DFS(x)*f[i]%X+S)%X,x=t;
}return mp[x]=S;
}
int main(){
LL i;for(read(n),i=2;i*i<=n;i++) if(!(n%i)){
p[++cnt]=i;W(!(n%i)) n/=i,++c[cnt];
}n>1&&(p[++cnt]=n,c[cnt]=1);
return writeln(DFS(0)-1),0;
}
|