P3302 [SDOI2013]森林

(Updated: )
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Description

给定一个 $N$ 个节点的森林，每个点有权值 $v_i$，初始有 $M$ 条边，有 $T$ 个操作：

  • Q x y k 查询点 $x$ 到点 $y$ 路径上的点权种第 $k$ 小，保证合法。
  • L x y 在点 $x$ 和点 $y$ 之间连一条边，保证合法。

强制在线

$1\leq N,M,T \leq 8\times 10^4,v_i\leq 10^9$

Solution

首先观察两个操作，分别对应两个算法：主席树、LCT。

但是这两个不容易并存，（但其实还是可以写的

所以考虑将一个换掉，比如说把 LCT 换成启发式合并，每次暴力将小的一棵树合并到另一棵树上，这样启发式合并复杂度为 $\mathcal O(\log N)$，然后主席树暴力重建复杂度为 $\mathcal O(\log N)$，合起来就是两只 $\log$ 还是可以接受的。

总时间复杂度 $\mathcal O(N \log^2N)$，总空间复杂度 $\mathcal O(N\log ^2 N)$。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=8e4+10;
int Tt,n,m,k,a[N],b[N],fa[N],cnt,fir[N],nxt[N<<1],son[N<<1],tot,sz[N],g[N][20],rt[N],dep[N];
I int GC(){char c=gc();W(c^'Q'&&c^'L') c=gc();return c^'L';}
I void Add(CI x,CI y){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,son[tot]=y;}
#define to son[i]
class ChairmanTree{
    private:
        int id;
        struct node{int l,r,v;}T[N*400];
        #define mid (l+r>>1)
    public:
        I void B(int& x,CI p,CI l,CI r,CI v){
            if(T[x=++id]=T[p],T[x].v++,l==r) return ;
            v<=mid?B(T[x].l,T[p].l,l,mid,v):B(T[x].r,T[p].r,mid+1,r,v);
        }
        I int Q(CI s1,CI s2,CI s3,CI s4,CI l,CI r,CI k){
            if(l==r) return b[l];RI t=T[T[s1].l].v+T[T[s2].l].v-T[T[s3].l].v-T[T[s4].l].v;
            return k<=t?Q(T[s1].l,T[s2].l,T[s3].l,T[s4].l,l,mid,k):Q(T[s1].r,T[s2].r,T[s3].r,T[s4].r,mid+1,r,k-t);
        }
}T;
I void Dfs(CI x,CI f,CI tp){
    RI i;for(g[x][0]=f,i=1;i<=18;i++) g[x][i]=g[g[x][i-1]][i-1];
    for(T.B(rt[x],rt[f],1,cnt,a[x]),dep[x]=dep[f]+1,fa[x]=tp,sz[tp]++,i=fir[x];i;i=nxt[i]) to^f&&(Dfs(to,x,tp),0);
}
I int LCA(RI x,RI y){
    RI i;for(dep[x]<dep[y]&&(swap(x,y),0),i=18;~i;i--) if(dep[y]<=dep[g[x][i]]&&(x=g[x][i]),x==y) return x;
    for(i=18;~i;i--) if(g[x][i]^g[y][i]) x=g[x][i],y=g[y][i];return g[x][0];
}
int main(){
    RI i,o,x,y,z,p=0;for(read(Tt,n,m,k),i=1;i<=n;i++) read(a[i]),b[++cnt]=a[i],fa[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++) read(x,y),Add(x,y),Add(y,x);
    for(sort(b+1,b+cnt+1),cnt=unique(b+1,b+cnt+1)-b-1,i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i])-b;
    for(i=1;i<=n;i++) fa[i]==i&&(Dfs(i,0,i),0);
    for(i=1;i<=k;i++) (o=GC())?read(x,y,z),x^=p,y^=p,z^=p,writeln(p=T.Q(rt[x],rt[y],rt[LCA(x,y)],rt[g[LCA(x,y)][0]],1,cnt,z)):
    (read(x,y),x^=p,y^=p,Add(x,y),Add(y,x),sz[fa[x]]>sz[fa[y]]?Dfs(y,x,fa[x]):Dfs(x,y,fa[y]));return 0;
}