#61. 【UR #5】怎样更有力气

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Description

题目链接：#61. UR #5

大力水手问禅师：“大师，很多事情都需要用很大力气才能完成，而我在吃了菠菜之后力气很大，于是就导致我现在非常依赖菠菜。我很讨厌我的现状，有没有办法少吃点菠菜甚至不吃菠菜却仍很有力气？”

禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山徒手修路。”

山下是 $n$ 座村庄从 $1$ 到 $n$ 编号，之间没有路相连。禅师给了大力水手一张草图，这张草图里 $n$ 座村庄被 $n - 1$ 条双向道路连接，任意一个村庄都可以通过双向道路到达其它所有村庄。

现在大力水手要根据禅师的意思在村庄间修路。禅师规定大力水手需要在 $m$ 天内完成任务，其中大力水手的修路方式如下：

  1. 第 $i$ 天，禅师指定了两个村庄 $v_i$ 和 $u_i$，在草图上 $v_i$ 号村庄到 $u_i$ 号村庄的最短路径上的所有村庄（包括 $v_i$ 和 $u_i$）中，大力水手需要选出若干对村庄（一个村庄可以被重复选多次，当然大力水手在这天也可以一对村庄都不选），然后在选出的每一对村庄间修建双向道路。
  2. 在实地考察中大力水手发现，有 $p$ 个限制关系 $(t_i, a_i, b_i)$，表示在第 $t_i$ 天无法在 $a_i$ 号村庄到 $b_i$ 号村庄间修路（路是双向的，所以自然也无法在 $b_i$ 号村庄到 $a_i$ 号村庄间修路）。
  3. 每一天都有个修理所需力气值 $w_i$，表示在第 $i$ 天每修建一条道路都要耗费 $w_i$ 点力气值。

大力水手开始蛮力干了起来，一罐又一罐地吞食菠菜，结果经常修建一些无用的道路，每天都累得筋疲力尽。

作为一个旁观者，请你帮大力水手求出要想让 $m$ 天后任意一对村庄之间都可以互相到达，所需要的总力气值最少是多少。注意最后修出来的道路不必和草图一致。

$n,m,p \leq 300000$

Solution

首先肯定是想要把所有边按权值从小到大排序然后跑 MST。

那么考虑如何把一天内所有限制之后的子图搞出来。

如果限制的数量很少，甚至小于这两个点之间的距离，那么肯定存在一种方案使得任意两点之间连一条边，那么其实就相当于把所有点直接相互连边，那么直接暴力连就好了。

否则两点之间的距离小于限制，那么可以直接暴力把路径上点全部扣下来，每次考虑选取限制最少的点，从这个点出发，暴力枚举所有与这个点没有限制的点并且尝试合并。

对于所有与这个点之间有限制的点，可以直接暴力枚举，如果枚举到的点的限制的点集大小小于这个点可以连边的点集大小，说明必然存在一种方案使得其两点之间连通，所以也是直接连即可。否则直接暴力跑一次，由于度数最小的点的度数大约是 $\mathcal O(\sqrt N)$，所以这部分复杂度时 $\mathcal O(N)$ 的。

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#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=3e5+10;
int n,m,p,fir[N],nxt[N<<1],son[N<<1],tot,dep[N],f[N],w[N],mx[N],fa[N],vis[N];LL Ans;
#define P pair<int,int>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
vector<int> E[N],Y,X;
vector<P> L[N];
I void Add(CI x,CI y){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,son[tot]=y;}
#define to son[i]
struct Edge{int u,v,w,id;}e[N];
I bool cmp(Cn Edge& x,Cn Edge& y){return x.w<y.w;}
I void Dfs(CI x){RI i;for(i=fir[x];i;i=nxt[i]) dep[to]=dep[x]+1,Dfs(to);}
I void Dfs2(CI x){RI i;for(i=fir[x];i;i=nxt[i]) Dfs2(to),w[fa[x]]+=w[x],w[mx[x]]<w[to]&&(mx[x]=to);}
I int GF(CI x){return f[x]?f[x]=GF(f[x]):x;}
struct GetFa{
    int F[N];
    I int GF(CI x){return x==F[x]?x:F[x]=GF(F[x]);}
}O,U;
I bool Ct(RI x,RI y,RI k){RI t=0;W(x^y){dep[x]<dep[y]&&(swap(x,y),0),x=fa[x],t++;if(t>L[k].size()) return 1;}return t>L[k].size();}
I void M(RI x,RI y,CI z){if((x=O.GF(x))^(y=O.GF(y))) O.F[x]=y,Ans+=z;}
I void FU(RI x,RI y,CI z){W(x^y) dep[x]<dep[y]&&(swap(x,y),0),M(x,fa[x],z),U.F[x]=fa[x],x=U.GF(fa[x]);}
int main(){
    RI i,j,t,x,y,Mn;for(read(n,m,p),dep[1]=w[1]=1,i=2;i<=n;i++) read(x),Add(x,i),fa[i]=x,w[i]=1;Dfs(1);Dfs2(1);
    for(i=1;i<=m;i++) read(e[i].u,e[i].v,e[i].w),e[i].id=i;sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=p;i++) read(t,x,y),L[t].push_back(MP(x,y));
    for(i=1;i<=n;i++) O.F[i]=U.F[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++) if(Ct(e[i].u,e[i].v,e[i].id)) FU(e[i].u,e[i].v,e[i].w);else{
        for(auto j:L[e[i].id]) E[j.fi].push_back(j.se),E[j.se].push_back(j.fi);
        Y.clear(),x=e[i].u,y=e[i].v;W(x^y) dep[x]<dep[y]&&(swap(x,y),0),Y.push_back(x),x=fa[x];Y.push_back(x);
        Mn=2e9,t=0;for(auto j:Y) E[j].size()<Mn&&(Mn=E[j].size(),t=j);
        X.clear();for(auto j:E[t]) vis[j]=1;for(auto j:Y) if(!vis[j]) X.push_back(j),M(j,t,e[i].w);for(auto j:E[t]) vis[j]=0;
        for(auto j:E[t]){
            for(auto k:E[j]) vis[k]=1;for(auto k:E[t]) !vis[k]&&(M(j,k,e[i].w),0);for(auto k:E[j]) vis[k]=0;
            if(E[j].size()<X.size()) M(t,j,e[i].w);
            else{for(auto k:E[j]) vis[k]=1;for(auto k:X) !vis[k]&&(M(k,j,e[i].w),0);for(auto k:E[j]) vis[k]=0;}
        }for(auto j:L[e[i].id]) E[j.fi].clear(),E[j.se].clear();
    }return writeln(Ans),0;
}