P4587 [FJOI2016]神秘数

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Description

题目链接：P4587

一个可重复数字集合S的神秘数定义为最小的不能被S的子集的和表示的正整数。例如S={1,1,1,4,13}，

1 = 1

2 = 1+1

3 = 1+1+1

4 = 4

5 = 4+1

6 = 4+1+1

7 = 4+1+1+1

8无法表示为集合S的子集的和，故集合S的神秘数为8。

现给定n个正整数a[1]..a[n]，m个询问，每次询问给定一个区间l,r，求由a[l],a[l+1],…,a[r]所构成的可重复数字集合的神秘数。

$n,m\leq 10^5,\sum a_i\leq 10^9$。

Solution

考虑神秘数的寻找方法：先把一段集合排序，然后依次扫一遍，假设已经可以表示出 $[1,x]$，那么我们只需要判断能不能加进 $a_i$ 即可。

  • 如果 $a_i\leq x+1$，说明肯定可以被之前的表示出来，那么可以把 $a_i$ 加进去，此时范围变成 $[1,x+a_i]$。
  • 如果 $a_i>x+1$，说明此时肯定不能表示出 $x+1$，那么答案就是 $x+1$。

然后直接用主席树维护即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=1e5+10;
int n,m,a[N],rt[N];
class SegmentTree{
    private:
        int id;
        struct node{int l,r,v;}T[N*400];
        #define mid (l+r>>1)
        #define PT int& y,int &x,CI l=1,CI r=1e9
        #define LT T[y].l,T[x].l,l,mid
        #define RT T[y].r,T[x].r,mid+1,r
    public:
        I void U(CI p,CI v,PT){
            T[x=++id]=T[y],T[x].v+=v;if(l==r) return ;
            p<=mid?U(p,v,LT):U(p,v,RT);
        }
        I int Q(CI X,CI Y,CI L,CI R,CI l=1,CI r=1e9){
            if(L<=l&&r<=R) return T[Y].v-T[X].v;
            RI S=0;return L<=mid&&(S+=Q(T[X].l,T[Y].l,L,R,l,mid)),R>mid&&(S+=Q(T[X].r,T[Y].r,L,R,mid+1,r)),S;
        }
}T;
int main(){
    RI i,l,r,Ans,Sum;for(read(n),i=1;i<=n;i++) read(a[i]),T.U(a[i],a[i],rt[i-1],rt[i]);
    read(m);W(m--){read(l,r),Ans=1;W(1){Sum=T.Q(rt[l-1],rt[r],1,Ans);if(Sum>=Ans) Ans=Sum+1;else break ;}writeln(Ans);}
    return 0;
}