CF819B Mister B and PR Shifts

(Updated: )
oi
,

Description

题目链接：CF819B

给定一个长度为 $n$ 的全排列 ${p_i}$，定义其偏移值为 $\sum_{i=1}^{n}p_i-i$，你可以将 $k\in[0,n-1]$ 个数从后面移到前面，使全排列的偏移值最小，输出最小偏移值和此时的 $k$，如果有多个符合输出任意一个。

$1\leq n \leq 10^6$

Solution

CF评分1900的黑题？？？肯定要来水一下呀（（（

先观察下移动一次后偏移值的改变：中间一段的 $i$ 全部加一，最后一个数移到最前面。

移动两次后偏移值的改变：在移动一次后的序列中，中间一段的 $i$ 全部加一，最后一个数移到第二个数。

那么由此可以推理出移动 $j$ 次后偏移值的改变：在移动 $j-1$ 次后的序列中，所有 $i\in[1,n-1]$ 的数字的 $i$ 全部加一，最后一个数移动到 $j$。

考虑区间内数字所有 $i$ 加一的操作如何实现。

可以直接大力分类讨论：

  1. $p_i >i $，此时只需要记下此种类的个数以及 $p_i-i$ 的和，每次修改的时候只需要把和减去个数即可。
  2. $p_i\leq i$，此时也只需要记下此种类的个数以及 $i-p_i$ 的和，每次修改的时候只需要把和减去个数即可。

由于第一个种的数减多次后可能会变成第二种，所以需要为第一种的所有 $p_i-i$ 开个桶计数，注意维护下即可。

最后一个数移动到 $j$ 可以先考虑不管，那么所有数字都进行一次修改操作，然后把第 $(n+1)$ 个数移到第 $j$ 个即可，注意维护下上文种分类讨论中维护的所有东西。

思路写起来有点麻烦，但代码还是很简洁的。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=1e6+10;
int n,k,a[N],cnt[N<<1],c0,c1;//由于存在移动操作，所以桶标记可能会超过 n
LL s0,s1,Ans;
int main(){
    RI i;for(read(n),i=1;i<=n;i++) read(a[i]),a[i]>i?++cnt[a[i]-i],++c0,s0+=a[i]-i:(++c1,s1+=i-a[i]);
    Ans=s0+s1;for(i=1;i<=n;i++) s0-=c0,s1+=c1,c0-=cnt[i],c1+=cnt[i],(--c1,s1-=(n+1)-a[n-i+1]),//分类讨论
    a[n-i+1]>1?++cnt[a[n-i+1]-1+i],++c0,s0+=a[n-i+1]-1:++c1,s0+s1<Ans&&(Ans=s0+s1,k=i);//特殊处理最末尾的数
    return write(Ans),pc(' '),writeln(k),0;
}