CF724G Xor-matic Number of the Graph 题解

(Updated: )
oi

Description

题目链接

给你一个无向图，有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，每条边上都有一个非负权值。

我们称一个三元组 $(u,v,s)$ 是有趣的，当且仅当对于 $u,v\in [1,n]$，有一条从 $u$ 到 $v$ 的路径(可以经过相同的点和边多次)，其路径上的权值异或和为 $s$。对于一条路径，如果一条边经过了多次，则计算异或和时也应计算多次。不难证明，这样的三元组是有限的。

计算所有有趣的三元组中 $s$ 的和对于 $10^9+7$ 的模数

$1\leq n \leq 10^5,1\leq m \leq 2\times 10^5$

Solution

对于所有的环，先把所有路径的异或和建一个线性基 $P$，那么点 $u$ 到点 $v$ 的路径和就是 $d_u\oplus d_v \oplus P$，其中 $d_x$ 表示 $x$ 到根路径的异或和。

考虑按位拆开来做，对于线性基 $P$，有 $S$ 元素，某二进制位为 $w$，则 $P$ 可以表示出 $2^S$ 个不同的数。

  • 如果 $P$ 中存在 $w$ 位为 $1$ 的数，则 $2^S$ 个数中恰有 $2^{S-1}$ 个数的二进制第 $w$ 位为 $1$，另外一半二进制第 $w$ 位为 $0$。
  • 如果 $P$ 中不存在 $w$ 位为 $0$ 的数，显然不能表示出二进制第 $w$ 位为 $1$ 的数，所有 $2^S$ 个数的二进制第 $w$ 位均为 $0$。

那么我们只需要统计每一位有多少种被表示出来的方式，统计答案即可。

考虑直接枚举二进制位 $w$，看下线性基 $P$ 中是否存在二进制位第 $w$ 位为 $1$ 的数即可。

  • 如果存在，那么选择两个点的二进制第 $w$ 位无论是几都可符合题意，并且此时存在 $2^{S-1}$ 条路径使得其异或和该二进制位为 $1$。那么对答案的贡献就是 $2^w\times 2^{S-1}\times C_{n}^2$。
  • 如果不存在，那么选择两个点的二进制第 $w$ 位必须恰有一个为 $1$，并且此时存在 $2^S$ 条路径的异或和第 $w$ 位为 $1$。记第 $w$ 位为 $1$ 的 $d_x$ 的个数为 $x$，那么对答案的贡献就是 $2^w\times 2^S\times x\times(n-x)$。

时间复杂度 $O(n\log^2t_i)$。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=100010,M=400010,Mod=1e9+7;
int n,m,fir[N],nxt[M],son[M],tot,vis[N],dfn[N];
LL w[M],dis[N],d[65],C,Ans,cnt;
I void Add(CI x,CI y,LL z){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,son[tot]=y,w[tot]=z;}
I void Insert(LL x){
    RI i;for(i=63;~i;i--) if(x>>i&1LL)
    if(!d[i]){++C,d[i]=x;return ;}
    else x^=d[i];
}
#define to son[i]
I void Dfs(CI x,LL sum){
    RI i;for(vis[x]=1,dis[x]=sum,dfn[++cnt]=x,i=fir[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to]) Dfs(to,sum^w[i]);
    else Insert(sum^dis[to]^w[i]);
}
int main(){
    RI i,j,k,x,y;LL z;for(read(n,m),i=1;i<=m;i++) read(x,y,z),Add(x,y,z),Add(y,x,z);
    for(i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]){
        for(memset(d,0,sizeof(d)),cnt=C=0,Dfs(i,0),j=0;j<=63;j++){
            LL t=1LL<<j;t%=Mod;
            bool flg=0;
            for(k=0;k<=63;k++) if(d[k]>>j&1LL) flg=1;
            if(flg) Ans+=cnt*(cnt-1)/2%Mod*((1LL<<C-1)%Mod)%Mod*t%Mod,Ans%=Mod;
            else{
                LL x=0;for(k=1;k<=cnt;k++) if(dis[dfn[k]]>>j&1LL) ++x;
                Ans+=x*(cnt-x)%Mod*((1LL<<C)%Mod)%Mod*t%Mod,Ans%=Mod;
            }
        }
    }
    return writeln(Ans),0;
}