Luogu P4127 [AHOI2009]同类分布 题解

Describe

题目链接

给出两个数$a,b$，求出$[a,b]$中各位数字之和能整除原数的数的个数。

Solution

数位dp。

$DFS(x,sum,dig,lim)$分别表示第$x$位，当前数位之和为$sum$，数字为$dig$，是否到达极限。

但是数据极大，$dig$会达到${10}^{18}$是不可能来记忆化的，所以考虑取模

那么模多少好呢？很明显如果模$sum$是最好的，最后只要判断下是否等于$0$即可。

那么暴力跑$9\times len$次数位$dp$，求的是$sum==i$时的数位$dp$结果，最后加起来就好了。

P.S.这里参考了讨论区神仙的优化：如果最后各个数位之和绝对到不了要求的话直接$return 0$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a[21],m,mod,f[21][201][201][2];
inline int DFS(int x,int sum,int dig,int lim){
if(sum+9*x<mod) return 0;//优化
if(x==0) return sum==mod&&dig==0;
if(~f[x][sum][dig][lim]) return f[x][sum][dig][lim];
int Max=lim?a[x]:9,res=0;
for(int i=0;i<=Max;i++) res+=DFS(x-1,sum+i,(dig*10+i)%mod,lim&&(i==Max));
return f[x][sum][dig][lim]=res;
}
inline int solve(int n){
m=0;
while(n){
a[++m]=n%10;
n/=10;
}
int res=0;
for(mod=1;mod<=m*9;mod++) memset(f,-1,sizeof(f)),res+=DFS(m,0,0,1);//暴力枚举模数
return res;
}
int L,R;
signed main(){return scanf("%lld%lld",&L,&R),printf("%lld\n",solve(R)-solve(L-1)),0;}